TUYỂN TẬP CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP
1) Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng

Giải:
Cách 1: Ta có:



(Bất đẳng thức đúng vì a, b > 0 nên 2
)
Vậy

Cách 2:
(vì 22
)
2) Chứng minh rằng: x2 + 3 +

Giải:
Áp dụng bắt đẳng thức cô- si cho hai số dương
và
ta có:


3) Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng:


Giải:



(BĐT đúng)
Vậy

4) Cho a + b
1. Chứng minh rằng a2 + b2
1
Ta có: a + b
1

Mà (a – b)2
0. Do đó (a + b)2 + (a - b)2
1


5) Cho a > b, b > c, c > 0. Chứng minh rằng:

Giải:
Ta có:






Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki

Vậy

6) Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện 0
và a+b+c=3. Chứng minh rằng:

Giải:
0





a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 – 2(ab+bc+ca)

7) Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
a2b + b2c + c2a + a2c + c2b + b2a - a3 - b3 - c3 > 0
Giải:
Vì a, b, c là độ fài ba cạnh của một tam giác nên theo bất đẳng thức ta có:
b + c > a, c + a > b, a + b > c

a2(b + c) > a2. a ; b2(c + a) >b2.b ; c2(a + b) > c2.c

a2b + a2c > a3; b2c + b2a >b3 ; c2a + c2b > c3

a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b > a3 + b3 + c3

a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b - a3 - b3 - c3 > 0 (đpcm)
8) Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + 2abc < 2
Giải:
a < b + c (bất đẳng thức tam giác)

a + a < a + b + c

2a < 2
a < 1. Tương tự b < 1, c < 1
Ta có: (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 0

(1 – b – a + ab)(1 - c) > 0

1 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 0

1 – (a + b + c) =ab + bc + ca > 0
Nên abc < -1 + ab + bc + ca

2abc < -2 + 2ab + 2bc + 2ca

a2 + b2 + c2 + 2abc < a2 + b2 + c2 – 2 + 2ab + 2bc + 2ca

a2 + b2 + c2 + 2abc < (a + b + c)2 – 2

a2 + b2 + c2 + 2abc < (a + b + c)2 – 2 (vì a + b + c = 2)
9) Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng:

Giải:








(BĐT đúng)
Vậy

10) Chứng minh rằng: a2 + b2 + 1
ab + a + b
Giải:
Ta có: a2 + b2
2ab
b2 + 1
2b
a2 + 1
2a

2(a2 + b2 + 1)
(2ab + 2a + 2b)

(a2 + b2 + 1)
ab + a + b
11) Cho các số dương x,y,z
0 và x + y + z = 1. Chứng minh rằng: x + 2y + z
4(1-x)(1-y)(1-z)
Giải:
Vì x,y,z
0 và x + y + z = 1
x,y,z
1 và 1-x, 1-y, 1-z
0
Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho hai số không âm ta có:
(1-x)(1-z)


4(1-x)(1-z)
(1+y)2

4(1-x)(1